Demonstrația eliberată de calculator a
teoremei color patru culori
– o clarificare necesară pentru matematica
mileniului al III-lea
şi un pas înainte în cunoaşterea umană
A. Introducere
În istoria atât de interesantă, dar şi
surprinzătoare a matematicii, teorema celor patru culori, numită uneori „problema
celor patru culori”, ocupă fără îndoială un loc privilegiat, atât prin
parcursul plin de inedit şi de aventură ce a caracterizat rezolvarea ei, cât şi
prin întrebările tulburătoare pe care le ridică pentru gândirea matematică în
particular şi gândirea umană în general, neobişnuita ei soluţionare în 1976 de
către matematicienii americani Kenneth Appel şi Wolfgang Haken, de la
Universitatea din Illinois, cu ajutorul calculatorului electronic.
Aventura acestei probleme extraordinare începe la
23 octombrie 1852, când studentul Francis Guthrie constată că poate colora
orice hartă cu patru culori, ţările cu frontieră comună având culori diferite.
Neputând să-şi explice faptul oarecum surprinzător totuşi el menţionează
nedumerirea lui, fratelui său, Frederik, şi el student la University College
din Londra. De la acesta, problema ajunge la profesorul său, Augustus De
Morgan, iar apoi la marele matematician şi fizician irlandez William Rowan
Hamilton. Eşecul lor în încercările de a dovedi afirmaţia lui Guthrie asigură
problemei o celebritate crescândă, în întreaga lume.
În 1879, Alfred Bray Kempe, care era de fapt
avocat, publică în American Journal of Mathematics un articol în care demonstra
teorema celor patru culori. Pentru aceasta, el devine membru al Societăţii
Regale şi cavaler, însă în 1890, Percy John Heawood, conferenţiar la
Universitatea din Durham, publică un articol în care arată că demonstraţia lui
Kempe era greşită.
Aventura acestei probleme, devenită cu timpul tot
mai celebră, continuă încă aproape optzeci de ani, perioadă când toţi marii
matematicieni ai epocii au încercat zadarnic să descopere râvnita demonstraţie.
Succese parţiale s-au obţinut totuşi: în 1922,
Philip Franklin arată că orice hartă conţinând 25 sau mai puţine regiuni nu
pretinde decât patru culori; în 1926, Reynold a extins demonstraţia la harţi cu
27 de regiuni, apoi C. E. Winn a extins-o la 35, iar prin anii ‘60, Øystein Ore şi Joel G. Stemple atinseseră 39 de regiuni.
Mergând pe această cale însă nu se putea obţine
demonstraţia teoremei celor patru culori în generalitatea sa. A fost momentul
în care Appel şi Haken au avut ideea novatoare a utilizării calculatorului
electronic în demonstraţie, mergând pe o cale nouă. Posibilitatea existenţei
unei hărţi cu un număr practic infinit de ţări este redusă la o hartă cu 1482
de ţări, hartă pe care un calculator electronic, performant pentru vremea
aceea, a dovedit, după 1200 de ore de lucru, că poate fi colorată doar cu patru
culori. Iniţial se pornise de la 1879 de configuraţii ireductibile, număr care
a fost redus ulterior la 1405 şi se pare chiar mai puţin.
Dar chiar şi în aceste condiţii, demonstraţia cu
ajutorul calculatorului a generat numeroase controverse.
Matematicieni
de prestigiu din mai multe ţări au contestat demonstraţia lui Appel şi Haken
pentru motivul că aceasta nu poate fi verificată cu mijloace obişnuite, ci doar
cu un alt program rulat pe un alt
calculator. O demonstraţie mai complicată, ca de exemplu aceea a clasificării
grupurilor simple finite, în ciuda celor 15.000 de pagini, a fost verificată de
matematicieni de mai multe ori. Ceea ce face teorema celor patru culori să aibă
o situaţie diferită este că ea n-a fost şi nu va fi niciodată complet
verificată de cineva. Aşa cum arăta H.P.F. Swinnerton-Dyer, o verificare cu
ajutorul altui calculator nu este o adevărată verificare, pentru că orice
calculator modern are defecţiuni obscure în care softul şi hardul său produc
atât de rareori erori, încât rămân ani de zile nedetectate şi orice calculator
este pasibil de erori trecătoare.
În afară de aceasta, admiterea acestui nou tip de
demonstraţie matematică ridică grave probleme. Specialistul în calculatoare
Edward Fredkin presupunea chiar
că într-o bună zi un calculator va descoperi o demonstraţie importantă
independent de matematicienii care îl supervizează.
În plus, se ridică
întrebarea dacă această demonstraţie este o adevărată demonstraţie matematică,
aşa cum acest concept s-a configurat şi acceptat de la Euclid şi până astăzi. O
demonstraţie matematică nu trebuie să răspundă la o întrebare, ea trebuie să
dea şi o anumită înţelegere a motivului pentru care răspunsul este cel care
este. Verificând toate configuraţiile inevitabile, aşa-zisa demonstraţie a lui
Appel si Haken a certificat că, într-adevăr, orice hartă plană se poate colora
doar cu patru culori, a adăugat ceva cunoaşterii, dar nu şi înţelegerii. Însă
progresul ştiinţific implică în primul rând înţelegerea fenomenologiei lumii, a
cauzalităţii şi a determinismului universal, nu doar o acumulare de informaţii
disparate. Lumea materială şi psihică este un sistem unitar şi coerent, iar
cunoaşterea reală a acesteia înseamnă cunoaşterea legităţilor ei. Calculatorul
electronic a dat un răspuns, căci el doar asta poate face, a furnizat o
informaţie certă, dar atât. Nu am aflat ce leagă pe dedesubt toate datele, căci
a răspuns doar la întrebarea „cum?”, nu şi la „de ce?”. În felul acesta, dacă
într-o demonstraţie „clasică” sau „de mână”, cu care suntem obişnuiţi, urmărim
depistarea unei condiţii care să fie „necesară”, dar nu şi „suficientă”,
demonstraţia cu ajutorul calculatorului oferă o condiţie „suficientă”, dar care
nu este şi „necesară”.
Acceptarea acestui nou
tip de demonstraţie prin calculatorul electronic va genera probleme tot mai
inaccesibile omului. Se conturează chiar o ştiinţă care să depăşească complet posibilitățile
intelectului uman, ceea ce este ilogic şi inacceptabil. Matematicianul Ronald
Graham spunea în acest sens: „Ar fi foarte descurajant dacă ai putea întreba un
calculator despre adevărul ipotezei lui Riemann şi el ţi-ar răspunde: Da, e adevărată,
dar n-ai fi în stare să înţelegi demonstraţia”.
Adevărul nu poate fi
acesta; este contrazis de întreaga istorie a matematicii şi a ştiinţelor în
general. O demonstraţie nu poate fi decât ceea ce s-a constituit în sute şi
chiar mii de ani: o trecere logică de la necunoscut la cunoscut, o deducere a
unui adevăr nou din adevăruri deja acceptate de raţiune, o concluzie care
provine din premise, din ipoteză. Trecerea comportă un număr de paşi, dar aceștia
nu pot fi nici în număr infinit, şi nici măcar
imposibil de asimilat de către intelectul uman.
Eroarea provine din
confuzia dintre problemele de aflat şi problemele de demonstrat. Între acestea
doua există şi asemănări; obţinerea unui rezultat, trecerea de la necunoscut la
cunoscut. Dar problemele de demonstrat îmbogăţesc cunoaşterea cu informaţii
certe, raţionale, ştiinţifice, pe când problemele de aflat nu aduc decât
aplicaţii practice ale cunoştinţelor teoretice, trecerea de la general la
particular.
În problemele de aflat
se cunoaşte calea, dar nu se ştie rezultatul, în cele de demonstrat se cunoaşte
rezultatul, dar nu şi căile care duc la el.
W. Sierpinski clasifică
problemele nerezolvate ale matematicii în două genuri: probleme pentru care se
cunoaște calea, dar aceasta nu poate fi realizată din cauza lungimii calculelor
(genul I) şi celelalte probleme nerezolvate – pentru care nu se cunoaște nici
calea de rezolvare (genul II). Introducerea calculatoarelor electronice a
desființat barierele dintre genuri, făcând adeseori ca o problema de genul al
II-lea să se transforme într-una de primul gen.
Prima şi cea mai
accesibilă metodă de rezolvare a problemelor este metoda numită a încercărilor
şi erorilor. Capacitatea ei este limitată şi de numărul operaţiilor – care pot
fi în număr infinit, dar şi de gradul de dificultate a problemei. Pentru
problemele dificile, omul gândeşte euristic, găseşte căi noi de
rezolvare, învinge rutina gândirii, ceea ce echivalează cu o pătrundere a raţiunii spre
niveluri de abstractizare tot mai profunde, cu o cunoaştere a unor esenţe de ordin tot
mai înalt. Cu timpul, se elaborează ipoteze noi, se fac verificări şi se elimină o masă mare de încercări ce nu aveau şansă de reuşită.
Acum îşi găseşte răspunsul
întrebarea privitoare la rolul şi locul calculatorului în rezolvarea
problemelor. În problemele de aflat, algoritmice, computerul este un auxiliar
modern de neînlocuit în condiţiile exploziei informaţionale. În
problemele de demonstrat, atâta timp cât nu se cunoaşte drumul logic
spre rezolvare, calculatorul ajută la efectuarea rapidă a unei serii de
încercări, ceea ce poate
aduce succesul. Desigur, dacă numărul de încercări este infinit,
nici calculatorul nu ajută la nimic, de exemplu în marea teoremă a lui Fermat, în
ipoteza lui Goldbach, în demonstrarea existenţei unei infinităţi de numere
prime, cum a făcut Euclid prin formula lui simplă.
În aşa-zisa demonstraţie a teoremei
celor patru culori, matematicienii americani, făcând cu
calculatorul toate încercările posibile (încercări limitate la un
nivel rezonabil al configuraţiilor inevitabile printr-un efort de
inteligenţă al lor), au găsit soluţia problemei celor patru culori. Dar nu au
rezolvat-o. Căci nu au înaintat în cunoaşterea teoretică aproape deloc.
Am aflat ce şi cum, dar nu ştim şi de ce.
De aici rezultă un aspect
teoretic nou şi interesant: a soluţiona o problemă nu înseamnă a o rezolva.
În istoria științelor, în general,
au existat multe probleme care au fost soluţionate mai întâi prin încercări şi erori, pentru
ca mai târziu, prin descoperirea de noi legităţi, să se ajungă la rezolvarea
lor, cu perspective spre noi rezolvări, mai dificile. Astfel se acumulează cunoaşterea ştiinţifică, adică înţelegerea, treapta
superioară a cunoaşterii umane.
Rezultă de aici că orice problemă va fi rezolvată în cele din urmă, adică se va ajunge la
o demonstraţie în sensul clasic al termenului, adică printr-un număr de paşi accesibili
omului. A se ajunge la demonstraţii pe care numai calculatorul le-ar înţelege este o
absurditate, căci ar însemna o limitare a capacităţii omului de a
crea, de a se apropia asimptotic de adevărul absolut.
Appel şi Haken, cu
ajutorul calculatorului, au transformat de fapt teorema celor patru culori
dintr-o problemă de demonstrat, într-o problemă de aflat. În
acest fel, nu numai că nu au dat o demonstraţie matematică veritabilă, dar – mai mult
– au generat suspiciunea că aceasta ar putea fi chiar eronată. Iar greşeala ar putea
proveni nu numai dintr-o eroare tehnică de calculator, ci modul de calcul al
configuraţiilor inevitabile. Amintim că, în 1950,
matematicianul Heesch a găsit aşa de multe configuraţii reductibile,
încât a emis ipoteza că se poate găsi o mulţime de configuraţii reductibile
atât de mare, încât o triangulaţie de orice fel cu grad minim 5, să conţină cel puţin una dintre
aceste configuraţii. Dar dacă nu ar fi aşa?
Generalizând, teorema
celor patru culori aparţine planului sau suprafeţei sferice, dar
devine problema culorilor dacă ne referim la hărţi desenate pe
banda Möbius, pe un tor, butelia Klein etc.
Necesitatea unei
demonstraţii elaborate apare numai în plan sau pe sferă.
În sprijinul celor
afirmate mai sus, urmează în continuare demonstraţia teoremei celor
patru culori, eliberată de calculator, iar, decurgând
direct din aceasta, ce consecinţe de ordin teoretic pot fi trase, subliniind
importanţa deosebită a acestei
teoreme pentru matematică în general.
